до юбилея
337 дней
 
Новое о разбиениях

Новое о разбиениях

В стране и миреНаука и техника
Математики Кен Оно (Ken Ono), Аманда Фолсом (Amanda Kent) и Захария Кент (Zacharia A. Kent) из университета Эмори (Emory University) в Атланте и Йельского университета (Yale University), США, открыли новые удивительные свойства очень старого и обманчиво простого математического объекта – функции разбиений. Их работа относится к теории чисел – раздела математики, появившегося еще в античность, в самом начале ее истории. Этот раздел математики изучает свойства самого на первый взгляд простого математического объекта – целых чисел. Многие из этих задач оказались очень трудными и очень важными для развития науки.

Функция разбиений p(n) – это просто количество способов представить n в виде суммы целых положительных слагаемых. Например, p(2)=2, так как 2=2 (одно слагаемое) или 2=1+1 (два слагаемых), а вот p(4) равно уже 5, поскольку у числа 4 есть разбиения 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 и 1+1+1+1. С ростом n значение p(n) быстро растет.

Первые интересные результаты про эту функцию получил еще в XVIII веке великий математик Леонард Эйлер (Leonard Euler) (половину своей взрослой жизни Эйлер проработал в Германии, а половину – в Санкт-Петербурге, так что в Германии его считают немецким математиком, а в России – российским). В начале XX века гениальный индийский математик-самоучка С. Рамануджан (S. Ramanujan) совместно с выдающимся английским математиком Харди (G. H. Hardy) получил приближенную формулу для p(n). Наряду с этим, Рамануджан открыл, что остатки от деления чисел p(n) на 5, 7 и 11 в некоторых случаях периодически повторяются. Оставалось, однако, совершенно непонятным, распространяется ли эта закономерность на другие простые числа.

Оно, Фолсом и Кент обнаружили, что открытая Рамануджаном закономерность обобщается, но не буквально: в общем случае остатки не повторяются, но зато у них обнаруживается «фрактальная структура»: последовательность остатков повторяется не буквально, а в увеличенном масштабе. Как это нередко бывает с работами по теории чисел, в доказательстве используется самая современная чрезвычайно сложная математическая техника, далеко выходящая за рамки университетской программы, при том что формулировка теоремы доступна даже старшекласснику.

Одной из самых знаменитых задач в теории чисел считается теорема Ферма. В 1637 году великий французский математик Пьер Ферма написал на полях «Арифметики» Диофанта рядом с этой формулировкой: «я нашел поистине замечательное доказательство этой теоремы, но поля слишком узки для него». Три с половиной века математики работали над этим доказательством, а любители тщетно пытались доказать теорему самыми простыми методами. Решение было получено только в 1994 году, и понять его могут только специалисты. Некоторые историки математики считают, что в доказательстве, которое имел в виду Ферма, имелась серьезная ошибка.

Вступайте в группу Город Новостей в социальной сети Одноклассники, чтобы быть в курсе самых важных новостей.

всего: 553 / сегодня: 1

Комментарии /0

Смайлы

После 22:00 комментарии принимаются только от зарегистрированных пользователей ИРП "Хутор".

Авторизация через Хутор:



В стране и мире